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數學天地 (四)

 

張 青

 

  我們的孩子在剛開始學習數學的時候就認識了自然數1;再長大一點,學習分數的意義的時候,又接觸到一個重要的概念—單位“1”;再過幾年,孩子們長大了,學到了三角函數,又與以“1”為半徑的單位圓見面了。它們都是一回事嗎?當然不是,它們各有不同的概念。讓小孩子明白和理解是非常重要的,否則就會鬧出笑話,這可是真事兒。別急,待會兒就講給你們聽。

 

  我們先來看看自然數1、單位“1”、以1為半徑作單位圓它們之間有什麼不同。

 

  自然數是表示物體個數的數,也是表示物體排列順序的數,1是自然數中最小的一個,是自然數的單位。凡是數量是1個的物體,不管是一個蘋果,還是一個人,都用自然數來表示它的個數;另外自然數1還可以表示排列的順序,比如站在第1個,比賽第1名等。

 

  而分數中的單位“1”雖然也用1來表示,但它的意義同自然數不同。單位“1”不僅表示一個物體,一個計量單位,還可以表示任意數量的一個整體。例如一個學校里所有的學生;一堆玩具;一批貨物等等。總之,凡是我們要分的量的整體都可以用單位1表示。由此可以看出,分數中的單位“1”的幾分之幾不一定是一個很小的數。例如把中國的十二億人口作為單位1,那麼這個“1”的六分之一就是2億,這個數可不小吧!

 

  在三角函數中,因為定義了以1為半徑的單位圓,不但可以得到任意角(的三角函數,還可以得到所有函數的值域。例如 sin( 和 cos( 的值域是〔-1, 1〕。

 

  這些其實孩子們都知道,可有沒有糊涂的,咱就不好說了。故事也就來自于以1為半徑的單位圓。

 

  我們那個時候正好趕上史無前例的文化大革命,“工農兵上大學”就是那個如火如荼時代的產物。本人“有幸”經歷了這個歷史階段。盼了七、八年,熬了三、四年,終于有機會上大學了,誰不想?都想!

 

  這不,來自五湖四海的工農兵們在一個屋檐下念起書來。入學時,我的班的39位同學里,水平差異極大。最好的同學已自學完了“微分方程”(這就是為什麼工農兵大學生里也有不少出類拔萃的人物。);最差的連小數、分數都不會(不礙事!誰讓咱是來上、管、改的呢!)。開學不久,正值補課補到三角函數階段,我們班兩位男生一時興起,在走廊里就開始了“學術”辯論。一位是文革前小學五年級水平的學生,但人很聰明,學習踏踏實實,是我們班最後一個入團的。我們暫稱他為A;另一位是文革前高中一年級學生,風流蕭灑,熱衷于“曲線救國”入黨,我們暫稱他為B。

 

  “三角函數不難,關鍵要弄懂它的定義,就沒有難題了。比如,sin( 和 cos( 的絕對值就不能大于1。”A 在暢談著。

 

  “誰說不能?就能大于1!”自認為有高一文憑,凡人(除了黨員)一概不放在眼里的 B 極為不服地爭辨著。

 

  B一開始還耐著性子和 A 爭上幾句﹕“ 絕對不可能!因為它被定義在以1為半徑的單位圓里。……”后來大概是不耐煩了,“行啊,您說能大于1就給咱證明證明。”A 操著一口京腔慢條斯理地調侃著。

 

  周圍已圍了不少同學,有真明白的,在等著看 B 的笑話;也有那二百五的,堅信 B 是正確的。“這太容易了嘛!你不會把那個單位圓畫大一點嗎?”B 居然大言不慚地說出了他的證明。

 

  我聽了差點噴飯!半天沒轉過彎兒來,以為活見鬼了。可真是白瞎了那高一文憑,心想﹕您就是把那個圓畫出地球去,它還是以1為半徑的單位圓啊!真不知他那幾年書是怎麼念的。

 

  此笑話講給大家,無非是要提醒家長們,教孩子學習任何知識,都要切忌一知半解。

 

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