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數學天地 (二)

 

張青

 

  在一般華人家庭里,孩子的數學成績在校都是拔尖兒的;“SAT”數學考試成績也通常是滿分。讓那些比較重視孩子教育的老美不得不佩服這些中國孩子。眼見美國各名校里華人子弟越來越多,難怪朋友常說﹕“用不了多久,美國的重要領域,包括政治、科學、醫療、法律等等,都將是亞裔和華人的天下。”

 

  不能不說華人子弟優秀的學習成績有許多要歸功于家庭和家長們。據我所知,不少家庭對孩子都有超前教育,尤其是數學。小小一個不到十歲的學童,已學到初中、高中數學的比比皆是。 能夠在數學上學到這種水平的孩子,一定對數學感興趣。有了興趣,才會學得好,學得下去。所以學習數學一定要避免枯燥、乏味,能讓孩子在學習中得到快樂、興趣是我們教好數學的最佳手段。

 

  講一個小故事吧。古代的希臘人居住在地中海的沿岸或島嶼上,因此他們十分愛好旅行和海上貿易。這給他們帶來了財富,同時也傳播了其他地區的知識。他們每天的勞作大部分是奴隸完成,于是希臘城鎮里那些富裕的人就有了余暇去辯論、研究、以至爭論不休。那個時候的古代人懂得了許多有關計算面積和測量角度的有用法則,但他們可從來沒有用一系列的推理把這些法則聯系起來,以證明它們的可靠無誤。這些好爭論的古希臘人就是在堅持,要使每個法則通過辯論的檢驗,並且要能夠解答對它提出的任何疑問。

 

  在那個時候,古人就知道一個邊長為3,4,5或5,12,13的三角形是直角三角形。但是沒有人能證明出來。公元前500年前,古希臘哲學家、數學家、天文學家畢達哥拉斯(Pythagoras)注意到了這個問題。他發現了這兩組數字的共同點﹕如果把每組數字都平方,我們會看到,不管哪一組里,最大的那個平方等于其他兩個數平方之和。即﹕3的平方 = 9  4的平方 = 16  5的平方 = 25  12的平方 = 144 13的平方 = 169; 9 +16 = 25, 和 25 + 144 = 169

 

  這就意味著以最長邊為邊長的正方形面積等于用兩條較小邊作邊長的兩個正方形面積之和。 畢達哥拉斯發現了這個法則,它符合于所有作直角三角形的這類方法。更有趣的是他還向自己提出了兩個奇異的問題﹕第一,這個法則永遠正確嗎?第二,如果一個三角形的三條邊都符合這條法則,就一定是直角三角形嗎?這位古代數學教師並不滿足于收集越來越多的例證說明對這兩個問題的回答 都是肯定的,他決定從事一項更為雄心勃勃也更有用的工作﹕證明對這兩個問題的回答必然永遠是肯定的。那時的希臘數學老師,同時也教法律,要使他的學生和門徒確信某一條規則是可靠無誤的,非得像他在法庭上辯護一個訟案那樣小心謹慎,首尾一致。因此他非得給出令人完全滿意的定義來不可。

 

  畢達哥拉斯學派很重視數學,企圖用數學來解釋一切,宣稱數是宇宙萬物的本源。最有意思的,也最讓現代人不可思議的是,畢達哥拉斯和那些希臘人研究數學的目的並不在于實用,而是為了探索自然的奧秘,而且多半是為了消遣。要知道那時希臘人一致同意研究數學證明的手段只有一把畫直線的尺子和一副畫圓的圓規。多麼不容易!這種輕松、有趣,但又艱難、嚴謹的學習研究精神也正是我們學習的。如果我們能從這個故事中體會到﹕發現和發明來自于興趣,而興趣又幫助了發現和發明這樣一個道理,那麼在教我們自己孩子的時候就會變得聰明起來,效果也就大不一樣了。畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方成畢達哥拉斯定理)著稱于世。這定理早已為巴比倫人和中國人所知,不過最早的證明大概可歸功于畢達哥拉斯和他的學派。

 

  不知畢達哥拉斯的故事對各位有沒有啟發?據我所知,不少朋友在教小孩子學習數學這門科學時,常常會讓小孩子背、默。有些家長抱怨﹕孩子已把乘法九九表背得滾瓜爛熟,可一踫到問題仍不會做。我們家長要做的檢討是﹕學習任何一門科學,死記硬背都是不可取的。您不防用啟發式、討論式,用提高興趣的方法和孩子們一起學習可能效果會更好,特別是那些他們自己琢磨出來,自己證明出來的定理和難題,會使他們異常激動,興趣昂昂。這種方法學到的東西,他們不但不會忘記,而且還會提高他們探索和研究的興趣。

 

  我們的後代,我們聰明的孩子在燦爛的二十一世紀為人類所做的貢獻指日可待!

 

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